Inaugurato nel 1998, nasce al fine di rendere pubblica e fruibile al pubblico la collezione di tessuti antichi raccolta da Antonio Ratti. I reperti sono circa 400.000, tra i quali un gruppo di tessuti copti del I millennio d.C., tessuti peruviani preincaici, velluti e sete operate europee dal XIII al XIX secolo, indumenti e tessuti dipinti e stampati in ambito cinese e giapponese, scialli di lana tessuti in India e Kashmir tra Sette e Ottocento, e libri campionario francesi e italiani dal 1840 a oggi. Il materiale è accessibile tramite un catalogo multimediale che permette una selezione rapida e specifica a cui segue la visione diretta dei manufatti. Ogni anno il MUST organizza giornate di studio su un tema trasversale alla storia dell'arte, del tessuto e della moda, e propone serate aperte al pubblico sulla moda e i suoi materiali